Die implizite Repräsentation stellt Kurven und Oberflächen als Isokontur (Nullstellenmenge, auch Level-Set genannt) eines zwei bzw. dreidimensionalen Skalarfelds dar. Es wird dabei nicht das geometrische Gebilde explizit erfasst, sondern vielmehr eine begrenzte Teilmenge des umgebenden zwei- oder dreidimensionalen Raums, woraus sich das repräsentierte Gebilde (sowie gegebenenfalls Manipulationen davon) durch Berechnung der Nullstellen wieder extrahieren lässt.

Als Skalarfeld, aus mathematischer Sicht eine Abbildung aus der Menge aller Punkte des jeweiligen Unterraums auf die Menge der reellen Zahlen, eignet sich zunächst jede Funktion, deren Nullstellenmenge mit der zu repräsentierenden Kontur übereinstimmt. Die Verwendung eines speziellen Skalarfeldes, des sogenannten Distanzfelds, führt jedoch zu numerischen und algorithmischen Vorteilen, z.B. die einfachere Erzeugung von Offset-Kurven bzw. -Flächen. Ein Distanzfeld bildet dabei jeden Punkt seines Definitionsbereichs auf den kleinsten Abstand zur Zielkontur ab, welche repräsentiert werden soll, und ist somit ein Spezialfall eines Skalarfeldes.

Wenn nun bspw. anstatt der Zielkontur deren Offsetkontur anhand des Distanzfelds konstruiert werden soll, erfolgt dies durch Berechnung des zum jeweiligen Offsetwerts gehörigen Level-Sets anstatt der Nullstellenmenge. Aus konzeptioneller Sicht entspricht dies der Bewegung der Nullstellenmenge in Normalenrichtung solange, bis ein vorgegebener Abstand zur initialen Kontur erreicht ist (Fast-Marching-Methode). Durch ortsabhängige Variation der Normalengeschwindigkeit lassen sich auf diese Weise auch Offsetkonturen mit ortsabhängigem Abstand zur Initialkontur erzeugen. Diese sind zur Berechnung von Werkzeugbahnen für nicht kugelförmige (z.B. zylindrische oder konische) Fräserspitzen relevant, deren Anstellwinkel den erforderlichen Abstand zur Zieloberfläche bedingt.

Der Vorteil der impliziten Repräsentation liegt in ihrer besonderen Robustheit und Effizienz hinsichtlich topologieverändernder Manipulationen, Konstruktion von Offset-Flächen/Kurven und fehlerhaft vernetzter (z.B. löchriger) Eingabedaten. Der Nachteil liegt in einem im Allgemeinen höheren Speicherverbrauch gegenüber expliziten/parametrischen Repräsentationen, da das Skalarfeld mittels Stützstellen diskretisiert und gespeichert werden muss. Dieser Nachteil wird durch die Verwendung adaptiver Distanzfelder kompensiert.

Da anstatt des geometrischen Gebildes der umgebende Raum erfasst wird, wirkt sich eine allzu naive Diskretisierung insbesondere bei Objekten mit ungünstigem Verhältnis zwischen Abmessung und Detailgrad negativ aus. Je nachdem wie die Stützstellen des Skalarfelds im Unterraum verteilt sind, lassen sich verschiedene Diskretisierungsstrategien unterscheiden. Durch Verwendung einer ausgeklügelten Diskretisierungsstrategie in Verbindung mit den heutzutage üblichen Voraussetzungen an Arbeitsspeicher sind auch große und/oder detaillierte Objekte problemlos mittels impliziter Repräsentationen zu handhaben.

Uniform diskretisierte Distanzfelder

Uniform diskretisierte Distanzfelder sind Repräsentationen von Gittern mit konstanter Auflösung. Der Gitterpunktabstand ist somit an allen Punkten des durch das Distanzfeld erfassten Unterraums konstant. Der Vorteil uniformer Distanzfelder liegt in ihren sehr effizienten Zugriffsmethoden, die bspw. eine schnelle Volumenvisualisierung, Konturierung und Manipulation ermöglichen. Der Nachteil liegt in ihren ineffizientem Speicherverbrauch bei Objekten mit ungünstigem Verhältnis zwischen Abmessung und Detailgrad, da sich die Auflösung des gesamten Gitters am höchstmöglichen Detailgrad der Zielkontur orientieren muss, um Abtastartefakte zu vermeiden.

Adaptiv diskretisierte Distanzfelder

Adaptiv diskretisierte Distanzfelder sind Repräsentationen von Gittern mit orts- und zeitabhängiger Auflösung. Der Gitterpunktabstand wird ortsabhängig variiert, um eine möglichst kompakte implizite Repräsentation der Oberfläche zu ermöglichen. Dies erlaubt insbesondere, das Distanzfeld auf diejenigen Regionen des umgebenden Raumes zu beschränken, welche tatsächlich zur Repräsentation der Zielkontur erforderlich sind, sowie die Auflösung an den lokal erforderlichen Detailgrad anzupassen. Ferner wird der Gitterpunktabstand zeitlich variiert, um die Kompaktheit auch bei Veränderungen der Oberfläche, z.B. im Rahmen der Fertigungsprozess-Simulation, zu bewahren.

Der Vorteil adaptiver gegenüber uniformer Distanzfelder liegt in ihrem deutlich effizienteren Speicherverbrauch, welcher die Bearbeitung von Objekten mit ungünstigem Verhältnis zwischen physikalischer Abmessung und Detailgrad ermöglicht. Der Nachteil liegt in ihren weniger effizienten Zugriffsmethoden auf einzelne Gitterpunkte.

Durch Vermischung der beiden Diskretisierungsansätze entstehen "hybrid diskretisierte" Distanzfelder, welche auf lokaler Ebene uniform sind und auf globaler Ebene adaptiv, sozusagen eine adaptive Verteilung uniformer Distanzfelder. Dies ermöglicht es, auf lokaler Ebene weiterhin vom effizienten Zugriff auf uniforme Distanzfelder zu profitieren, z.B. zur stückweisen Konstruktion von Offset-Flächen.

Hochparallele Berechnung euklidischer Distanzfelder

Die implizite Repräsentation von Oberflächen erfordert die schnelle Erzeugung von Distanzfeldern aus unterschiedlichen Arten von Eingabedaten. Für die Pfadgenerierung bestehen die Eingabedaten aus Oberflächen mit einer alternativen Repräsentation, meist Dreiecksnetze, die in eine implizite Repräsentation konvertiert werden muss.

Für die Pfadsimulation bestehen die Eingabedaten aus Werkzeugbahnen und Werkzeuggeometrien, aus denen die nach dem Fertigungsprozess resultierende Materialoberfläche berechnet werden muss. Zu diesem Zweck werden die Schnittvolumen, die das Werkzeug bei Bewegung entlang der Bahnabschnitte erzeugt ebenfalls implizit repräsentiert.

Geodätische Distanzfeldberechnung

Die implizite Repräsentation von Kurven auf Oberflächen, bspw. Werkzeugbahnen auf Offset-Flächen, erfordert Distanzberechnungen auf Oberflächen (die sogenannte geodätische Distanz). Dies wird mittels einer auf Dreiecksnetzen operierenden Fast-Marching-Methode zur Berechnung des geodätischen Distanzfelds gewährleistet.

Extraktion von Isokonturen unter heterogener Distanzfeldauflösung

Implizit repräsentierte Oberflächen, bspw. die Offset-Flächen der Zieloberfläche, müssen zunächst als Isokontur aus ihrem Distanzfeld extrahiert werden. Für uniforme Distanzfelder gewährleistet dies die verbreitete Marching-Cubes Methode. Adaptive Distanzfelder mit variabler Auflösung erfordern dagegen die Extraktion und Vernetzung von Oberflächenregionen aus unterschiedlichen Auflösungsstufen.